O relógio é um dispositivo de medição complicado. Existem três escalas sobrepostas, uma para horas, uma para minutos, e uma para segundos.
No relógio mostrado aqui, as horas são numeradas e há marcações para cada minuto. Todos sabemos que o ponteiro dos minutos no 6 representa 30 minutos, e não 6 minutos daquela hora. Como o ponteiro das horas está entre o 3 e o 4, e o ponteiro dos segundos está em 12, sabemos que são 3h30m00s. Para o enigma deste mês precisamos introduzir uma idéia, a “posição de minuto” do ponteiro das horas.  Às 3h30m00s, a posição de minuto do ponteiro das horas é de 171/2 minutos. O ponteiro das horas está apontando para a marca de 171/2 minutos na face do relógio, porque esta é a posição dos minutos exatamente na metade do caminho entre as três e quatro horas.
Às 3h30m00s, e em qualquer horário em que o ponteiro dos minutos aponte exatamente para uma das marcações de minuto, o ponteiro dos segundos aponta para as 12. Quando ponteiro dos segundos tiver se movido mais 30 segundos, e o horário for 3h30m30s, o ponteiro dos minutos terá percorrido metade do caminho para a próxima marcação de minuto, como mostrado abaixo (o ponteiro das horas também terá se movido um pouco).
Outra convenção importante sobre relógios e horários é que os ponteiros de minuto, hora e segundo devem recomeçar em zero depois de darem uma volta inteira pelo relógio. A cada 12 horas o ponteiro das horas começa novamente do 0. Da mesma forma, a cada 60 minutos, o ponteiro das horas passa cinco “posições de minuto” para a frente, e o ponteiro dos minutos começa novamente do 0. Igualmente, a cada 60 segundos o ponteiro dos minutos passa uma posição de minuto para a frente, e o ponteiro dos segundo começa novamente do 0. Quando os ponteiros das horas, minutos e segundos aponta para 12, são 12h00m00s, ou 00h00m00s.

Agora aqui está seu enigma.

Os ponteiros das horas, minutos e segundos estão exatamente alinhados entre si em 12 horas. Pode haver outros horários em que os três ponteiros estejam próximos uns dos outros. Contudo, existe algum outro horário além das 12 horas em que os três ponteiros estejam perfeitamente alinhados?

Em alguns relógios o ponteiro dos segundos se move em “tiques”, fazendo uma breve pausa em cada marcação na face do relógio. Para este enigma, assuma que os ponteiros das horas, minutos e segundos do relógio se movimentem de forma contínua.

Dicas
Para resolver este problema seria melhor responder primeiro à seguinte pergunta:

1. Quantas vezes em um ciclo de 12 horas para o ponteiro das horas os ponteiros das horas e dos minutos estão perfeitamente alinhados entre si? Você é capaz de determinar os horários específicos em que isso ocorre com as horas, os minutos e os segundos?
2. Quantas vezes em um ciclo de uma hora os ponteiros dos minutos e dos segundos estão perfeitamente alinhados entre si? Você consegue determinar os horários específicos em que isso ocorre nos minutos e segundos?

Introdução Matemática

A matemática do tempo é complicada, em parte em função da natura cíclica dessa medição. A aritmética cíclica, também chamada de aritmética modular, e às vezes de “aritmética do relógio”, é um importante ramo da matemática e tem muitas aplicações na ciência. Nossa numeração normal começa em zero e continua infinitamente com números positivos e negativos cada vez maiores. Números cíclicos ou modulares começam em zero e começam a aumentar até que um certo valor seja atingido, e então recomeçam novamente do zero. Os problemas aritméticos desses sistemas têm uma beleza e dificuldade próprias.

A matemática do tempo também é complicada porque usamos muitas unidades diferentes, embora relacionadas. Problemas aritméticos que envolvem tempo podem ser extremamente complexos. Pense nisso: 60 segundos por minuto, 60 minutos por hora. 24 horas por dia, 365 dias por ano. Sem falar nos meses e semanas! (A convenção para horas, minutos e segundos remonta à convenção da Babilônia Antiga de dividir um círculo em 360 graus.)

O sistema desafia a lógica! De fato, durante a Revolução Francesa, cientistas franceses propuseram que o Mundo adotasse um novo sistema para o tempo baseado em aritmética decimal. No fim das contas, seu sistema métrico se tornou padrão no Mundo todo. Por que não ter um sistema métrico para o tempo? No sistema Revolucionário Francês o ano teria 10 meses, com trinta dias cada; cada mês teria três semanas de 10 dias; cada dia teria 10 horas; cada hora 100 minutos, cada minuto 100 segundos. O Sistema Francês está descrito na Wikipédia.

O tempo métrico nunca pegou, por várias razões. Primeiro porque todos os relógios já existentes se tornariam obsoletos!

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