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 Si vous regardez un ballon de football (voir la photo au début de cet article), vous verrez que les motifs hexagonaux (motifs blancs) ont beau être côte à côte, les motifs pentagonaux (motifs noirs), eux, ne se touchent jamais (les pentagones n'ont jamais d'arête commune).
En fait, les pentagones sont séparés les uns les autres par des hexagones. Si vous considérez la symétrie et examinez soigneusement un ballon de football, vous verrez que chacun des sommets du ballon se trouve sur un pentagone et qu'aucun ne se trouve exclusivement sur un hexagone. Etant donné que le ballon comporte 12 pentagones et que chacun a 5 sommets, le ballon compte donc 12 x 5 = 60 sommets.
Le fameux mathématicien Euler a découvert une formule simple qui relie le nombre de faces (F), de sommets (S) et d'arêtes (A) dans le cas de formes simples :
Il a trouvé que F + S - A = 2 pour de nombreuses formes.
(formule dans laquelle F, S et A sont respectivement le nombre de faces, de sommets et d'arêtes)
Prenez par exemple un cube (un dé) : il comporte 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. On a donc : 6 + 8 - 12 = 2. Ça marche !
Dans le cas d'un ballon de football, nous avons 60 sommets, chacun comportant 3 arêtes (chacune reliant un sommet à un autre). Cela signifie qu'il y a 3/2 arêtes par sommet, ce qui donne un total pour le ballon complet de 60 x 3/2 = 90 arêtes.
Nous savons que :
S = 60, A = 90, F = nombre de pentagones + hexagones = 12+H
Utilisons l'équation S + F - A = 2 pour prédire le nombre d'hexagones (H) :
S + F - A = 2
60 + (12 + H) - 90 = 2
En réarrangeant les termes de l'équation, on trouve :
H = 2 + 90 – 12 – 60 = 20 hexagones sur le ballon de football.
Les pentagones sont très importants dans la structure car on s'aperçoit que des groupes d'hexagones ne peuvent être que plats – exactement comme un sol carrelé (ce qui explique pourquoi les trois dessins du début de l'article ont l'air d'être plats, tout comme ils le seraient en réalité). Au fur et à mesure qu'on ajoute un pentagone la forme se courbe un petit peu plus. Une fois les 12 pentagones inclus, le ballon est complètement formé. Pour dessiner la structure, on doit tenir compte de cette courbure.
D'après ce que nous avons appris, le ballon de football est un icosaèdre tronqué, comportant :
12 pentagones (motifs à cinq côtés),
20 hexagones (motifs à six côtés),
60 sommets,
90 arêtes,
et, tandis que les hexagones peuvent être côte à côte, aucun pentagone n'en touche un autre (il n'existe pas d'arête commune à deux pentagones).
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