En mars, nous vous avions demandé comment faire pour trouver, parmi un groupe de personnes réunies dans la même pièce, le nombre de personnes nées le même jour. Voici notre solution.

De nombreuses personnes sont nées le même jour que vous. Etant donné qu'il ne peut y avoir que 366 dates d'anniversaire possibles et que nous sommes plus de 6 000 000 000 dans le monde entier, les personnes nées le même jour que vous risquent d'être très nombreuses ! Mais si vous vous trouvez dans une pièce avec quelques personnes seulement ? Quelle est la probabilité pour qu'au moins deux personnes soient nées le même jour ? Combien y a t-il d'élèves dans votre classe ? Certains sont-ils nés le même jour ? Pouvez-vous vous renseigner sur les autres classes ?

Si vous vous trouvez dans une pièce avec un groupe de personnes, vérifiez si plusieurs d'entre elles sont nées le même jour. Demandez à ces personnes la date de leur anniversaire et regardez s'il y a des dates qui coïncident.

D'après vous, combien de personnes faudrait-il mettre dans une pièce pour avoir plus d'une chance sur deux de trouver au moins deux personnes nées le même jour ? En d'autres termes, combien de personnes faut-il pour que la probabilité de trouver un anniversaire commun soit supérieure à 50 % ? Et combien de personnes faut-il pour obtenir une probabilité supérieure à 90 % ?

Avant de chercher la solution, dites un nombre au hasard. Puis, essayez de calculer les réponses. Vous risquez d'être surpris(e).

Solution

Prenons le problème à l'envers et essayons de trouver la probabilité pour qu'il n'y ait AUCUN anniversaire commun dans un groupe de personnes donné. S'il n'y a qu'une seule personne dans la pièce, il n'y aura forcément pas d'anniversaire commun. Dans ce cas, la probabilité pour qu'il n'y ait aucun anniversaire commun est égale à 1. On dit que les événements certains ont une probabilité de 1. Prenons l'exemple inverse avec un groupe de 367 personnes. On est sûr qu'au moins deux personnes seront nées le même jour car il y a plus de personnes que de dates d'anniversaire possibles.

Imaginons maintenant qu'une deuxième personne entre dans la pièce. La probabilité pour que cette personne ne soit pas née le même jour que la première est de 365/366, c'est-à-dire 0,997. Il existe 366 dates d'anniversaire possibles et une seule correspond.

Maintenant, si ces deux personnes ne sont pas nées le même jour et si une troisième personne entre dans la pièce, deux dates d'anniversaire sont donc utilisées et la probabilité pour que la troisième personne n'ait pas le même anniversaire que la première ou la deuxième est de 364/366, et la probabilité pour qu'aucune des trois personnes ne soit née le même jour que l'une des deux autres personnes est de 1 * 365/366 * 364/366 = 0,992, ce qui est supérieur à 99 %. Par conséquent, avec 2 ou 3 personnes dans une pièce, la probabilité pour que deux personnes au moins soient nées le même jour est inférieure à 1 %.

Vous pouvez vous amuser à calculer les chances de ne pas obtenir d'anniversaire commun pour un nombre de personnes donné :

1 * 365/366 * 364/366 * 363/366 * 362/366...

Les résultats changent rapidement dès que le nombre de personnes augmente. Avec 10 personnes, la probabilité de trouver une date commune est supérieure à 10 %. Avec 23 personnes, la probabilité pour que deux personnes au moins soient nées le même jour est légèrement supérieure à 50 % et dépasse même 90 % avec 41 personnes.

Approfondissons un peu

1. Pouvez-vous réfléchir à une autre stratégie pour résoudre le problème ?
2. Nous avons basé nos calculs sur 366 dates d'anniversaire possibles. L'une de ces dates, le 29 février, est spéciale. Pensez-vous que cela puisse modifier vos calculs ?