Une horloge est un instrument de mesure compliqué. Trois graduations différentes se superposent, la première pour les heures, la deuxième pour les minutes et la dernière pour les secondes.
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Sur l’horloge représentée ici, les heures sont numérotées et il y a des marques qui représentent chacune une minute. Nous savons tous que si l’aiguille des minutes est sur le chiffre 6, cela signifie 30 minutes et non pas 6 minutes. Lorsque l'aiguille des heures est entre le 3 et le 4 et que l'aiguille des secondes est sur le 12, nous savons qu'il est 3 h 30 mn 00 s
Pour résoudre l'énigme mathématique de ce mois-ci, il nous faut introduire la notion de « position en minutes » de la petite aiguille. A 3 h 30 mn 00 s, la position en minutes de l'aiguille des heures est égale à 17,5 minutes. Sur le cadran, l'aiguille des heures pointe exactement entre la 17ème et la 18ème marque des minutes ce qui correspond à la position en minutes qui se trouve exactement au milieu du 3 et du 4. |
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A 3 h 30 mn 00 s et à n’importe quelle heure à laquelle l’aiguille des minutes pointe exactement sur les marques des minutes, l’aiguille des secondes pointe sur le 12. D’ici à ce que l’aiguille des secondes ait bougé de 30 secondes supplémentaires, le temps affiché sera alors 3 h 30 mn 00 s ; l’aiguille des minutes aura bougé à moitié, indiquant alors la prochaine marque des minutes comme représenté dans l’exemple ci-dessous. (L’aiguille des heures sera également déplacée aussi un peu.) |
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Une autre règle importante concernant les horloges et l'heure, c'est que les minutes, heures et secondes sont remises à zéro après chaque tour complet du cadran. Toutes les 12 heures, l’aiguille de l’heure repart à zéro. Toutes les 60 minutes, l’aiguille des heures se déplace de 5 minutes et l’aiguille des minutes repart à zéro. De la même façon, l'aiguille des minutes se déplace d’1 minute toutes les 60 secondes et l’aiguille des secondes repart à zéro.
Quand les aiguilles des heures, minutes et secondes pointent vers le 12, il est soit 12 h 00 mn 00 s, soit 00 h 00 mn 00 s. |
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Maintenant voici l’énigme :
A 00 h 00 mn 00 s, les aiguilles des heures, minutes et secondes sont exactement alignées. A certaines heures, les trois aiguilles sont proches les unes des autres. Cependant, existe-t-il d’autres heures auxquelles les trois aiguilles se superposent complètement ?
Sur certaines horloges, l’aiguille des secondes se déplace en émettant des « tic-tac » et en s'arrêtant brièvement à chaque marque du cadran. Pour cette énigme, supposez que les aiguilles des heures, minutes et secondes se déplacent de façon continue.
Pour résoudre ce problème, il vaut mieux répondre aux questions suivantes en premier lieu :
- Au cours d’un cycle de 12 heures, combien de fois les aiguilles des heures et des minutes se superposent-elles complètement ? Pouvez-vous dire précisément à quelle heure, minute et seconde ce phénomène a lieu ?
- Au cours d’un cycle de 1 heure, combien de fois les aiguilles des minutes et des secondes se superposent-elles complètement ? Pouvez-vous dire précisément à quelle minute et seconde ce phénomène a lieu ?
Les mathématiques relatives au temps sont compliquées, en partie en raison de la nature cyclique de la mesure du temps. L’arithmétique cyclique, que l’on appelle aussi arithmétique modulaire ou parfois « arithmétique de l’horloge » est une branche importante des mathématiques et a de nombreuses applications scientifiques. Normalement, la numérotation commence à zéro et continue par des chiffres croissants aussi bien positifs que négatifs. Les numéros cycliques et modulaires commencent à zéro et augmentent jusqu’à atteindre une valeur donnée, à partir de laquelle ils repartent à partir de zéro. Les problèmes arithmétiques de tels systèmes sont un mélange de beauté et de difficulté.
Les mathématiques relatives au temps sont également compliquées car nous utilisons des unités différentes même si elles sont liées. Les problèmes arithmétiques relatifs au temps peuvent être extrêmement complexes. En voici la preuve : 60 secondes par minute, 60 minutes par heure. 24 heures par jour, 365 jours par an. Sans parler des semaines et des mois ! (Les règles fixant conventionnellement les heures, les minutes et les secondes remontent au temps de l’ancienne Babylone, selon lesquelles un cercle est divisé en 360 degrés.)
Le système défie la logique ! En effet, au temps de la Révolution française, des scientifiques français ont proposé que le monde adopte un nouveau système basé sur l’arithmétique décimale pour mesurer le temps. Par la suite, ce système métrique s’est appliqué dans le monde entier. Pourquoi n’existe-t-il pas de système métrique pour le temps ? Dans le système développé au cours de la Révolution française, l’année comptait dix mois comprenant 30 jours chacun ; chaque mois comportait 3 semaines de 10 jours, chaque jour comptait 10 heures, chaque heure 100 minutes et chaque minute 100 secondes. Vous trouverez la description du système français dans Wikipedia.
Le système métrique n’a pas pu s’appliquer au temps pour de nombreuses raisons. Premièrement, toutes les horloges et les montres qui existent déjà seraient alors obsolètes !
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