Ramanujan fête son anniversaire. Comme son illustre homonyme, Srinivasa Ramanujan, le grand mathématicien indien du 20ème siècle, Rama, comme le surnomment ses amis, aime ponctuer ses fêtes d'énigmes mathématiques. Le carton d'invitation de sa fête d'anniversaire était rédigé ainsi :
Mes chers amis,
J'ai invité à mon anniversaire 17 garçons et filles. A votre arrivée chez moi, je vous serrerai la main et j'aimerais que chacun d'entre vous me serre la main et serre la main aux autres invités une fois. Mais auparavant, j'aimerais que vous résolviez cette énigme : Combien de poignées de main seront échangées au cours de la fête ? Une surprise attendra celles et ceux qui trouveront la réponse (et pourront la justifier).
Et le jour de la fête, je vous promets encore bien d'autres énigmes !
Votre ami,
Rama |
Si chacun serre la main de tout le monde une seule fois, alors 153 poignées de mains seront échangées. Pouvez-vous expliquer pourquoi ?
Le jour de la fête, Rama a demandé à ses amis de résoudre deux autres énigmes.
Trouvez une règle qui permette de déterminer le nombre de poignées de mains échangées entre un nombre de personnes donné, N, sachant que chaque personne serre une fois la main des autres personnes.
Si vous dessinez un polygone à N côtés et que vous en tracez ensuite toutes les diagonales possibles, combien de segments de droite devez-vous tracer ? Comment le résultat de cette énigme permet-il de calculer le nombre de poignées de mains échangées entre N personnes ?
Cette énigme, comme les trois précédentes, se base sur une fonction. En mathématiques, une fonction est une règle qui met en relation deux variables. Ainsi, si vous connaissez l'une des deux variables, appelée variable indépendante, la règle vous donne alors l'autre variable, la variable dépendante.
L'énigme de juin faisait appel aux « nombres carrés », à savoir la série 1, 4, 9, 16, 25, etc. L'énigme de juillet traitait de « nombres cubes », à savoir la série 1, 8, 27, 64, 125, etc. Cette fois-ci, notre résultat répond à une autre série bien connue, les « nombres triangulaires ».
Pour savoir qui était Srinivasa Ramanujan, cliquez ici. La BBC a également produit un documentaire sur ce grand mathématicien, dont la vie a même été mise en paroles, dans un style plutôt rock !
- Sachant que cette énigme fait appel à une fonction, vous pouvez adopter, pour la résoudre, un raisonnement inductif, en partant du cas le plus simple et en cherchant ensuite un schéma récurrent, ou déductif, en réfléchissant au cas général et en affinant le raisonnement pour N personnes.
- Certaines personnes préfèrent tracer un dessin pour les aider à réfléchir et à résoudre ce type d'énigme.
Essayez par vous-même, puis consultez notre solution. |
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