En avril, nous vous avions mis au défi de créer des carrés magiques à partir des chiffres de 1 à 9. Voici certaines solutions intéressantes qui nous ont été envoyées.

Solution

Le problème consistait à réarranger ces nombres de façon à ce que les sommes des trois lignes, des trois colonnes et des deux diagonales soient égales.

1   2   3
4   5   6
7   8   9

En d'autres termes, si on remplace les nombres du carré par des lettres :

a   b   c
d   e   f
g   h   i

dans ce cas, l'équation suivante doit être vraie :

a + b + c = d + e + f = g + h + i = a + d + g = b + e + h = c + f + i = a + e + i = c + e + g

Voici la solution envoyée par Dionicio :

8   3   4
1   5   9
6   7   2

En inversant ou en pivotant le carré magique de Dionicio, on obtient de nombreuses autres solutions. Par exemple, faisons pivoter le carré de 90 °, dans le sens des aiguilles d'une montre

6   1   8
7   5   3
2   9   4

En inversant le nouveau carré selon un axe vertical, on obtient :

8   1   6
3   5   7
4   9   2

Voici la solution plus formelle proposée par Vincent Vieugue :

Remplaçons les neuf chiffres par des lettres :

a   b   c
d   e   f
g   h   i

Il faut commencer par calculer la somme de chaque ligne, colonne ou diagonale. Appelons cette somme X. Si l'on s'occupe uniquement des 3 lignes, l'équation suivante doit être vraie :

Equation : 1) a + b + c = d + e + f = g + h + i = X

Nous savons également qu'en additionnant ces 3 lignes, quelle que soit la façon dont les chiffres sont arrangés, la valeur totale doit être égale à la somme de tous les chiffres du carré. Soit l'équation suivante :

Equation : 2) a + b + c + d + e + f + g + h + i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Dans l'équation 2, si l'on remplace (a + b + c), (d + e + f), (g + h + i) par la somme X calculée d'après l'équation 1, on obtient :

(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + I) = X + X + X = 45
3X = 45
X = 15

Calculons ensuite e, qui correspond au chiffre placé au centre du carré. En raison de sa position, e est relié à tous les autres chiffres par les équations suivantes :

Equations : 3) d + e + f = 15

b + e + h = 15

a + e + i = 15

c + e + g = 15

En additionnant toutes ces équations, on obtient :

(d + e + f) + (b + e + h) + (a + e + I) + (c + e + g) = 60

Réordonnons maintenant ces chiffres :

(a + b + c + d + e + f + g + h + i) + (e + e + e) = 60

A l'aide de l'équation 2, on remplace la première expression par 45, ce qui donne :

45 + 3e = 60
e = 5

Nous savons désormais que la solution de l'énigme commence ainsi :

a   b   c
d   5   f
g   h   i

Et que les équations 3 sont vraies, ce qui signifie qu'en remplaçant e par 5

d + f = b + h = a + i = c + g = 10

Pour obtenir 10, les seules combinaisons possibles avec les chiffres restants sont (9 + 1), (8 + 2), (7 + 3) et (6 + 4).

Essayons de placer (9,1) en premier.

Etant donné que l'on obtient une configuration identique en faisant pivoter le carré de 90°, seules 2 solutions s'offrent à nous :

remplacer (a et i). On obtient un résultat identique en remplaçant (c et g) .
remplacer (b et h). On obtient un résultat identique en remplaçant (d et f).

Commençons par la solution 1.

Si a = 9 et i = 1, on doit résoudre les équations suivantes :

Equations : 4) b + c = d + g = 15 - 9 = 6

Nous savons que b, c, d et g doivent être des chiffres différents. Les seuls chiffres restants pour valider l'équation 4 sont 4 et 2. Ce qui signifie qu'il est impossible de résoudre cette équation et que les chiffres 9 et 1 ne peuvent pas être placés en position a et i ou, c et g.

Essayons alors la solution 2.

Si b = 9 et h = 1, on doit résoudre les équations suivantes :

Equation : 5) a + c = 6
Equation : 6) g + i = 14

Etant donné que a et c doivent être deux chiffres différents, les seules solutions possibles sont :

a = 4 et c = 2 ou
a = 2 et c = 4.

En plaçant tous les chiffres que nous avons déjà trouvés, voici le carré que nous obtenons :

4   9   2
d   5   f
g   1   i

Il devient donc facile de terminer le carré :

i = 15 - 4 - 5 = 6
g = 15 - 2 - 5 = 8
d = 15 - 4 - g = 15 - 4 - 8 = 3
f = 15 - 2 - i = 15 - 2 - 6 = 7

Voici l'une des solutions finales :

4   9   2
3   5   7
8   1   6

Ou alors, en pivotant le carré, n'importe laquelle des solutions suivantes :

8  3  4 1  5  9 6  7  2	6  1  8 7  5  3 2  9  4	2  7  6 9  5  1 4  3  8
2  9  4 7  5  3 6  1  8	6  7  2 1  5  9 8  3  4	8  1  6 3  5  7 4  9  2	4  3  8 9  5  1 2  7  6

Approfondissons un peu...

Combien de carrés différents pouvez-vous obtenir en inversant ou pivotant le carré de départ ?
Pouvez-vous créer un carré magique de 3 x 3 en utilisant des nombres autres que les chiffres 1 à 9 ?
Pouvez-vous créer un carré magique plus grand, par exemple de 4 x 4 ou de 5 x 5 ?

Quelques notions supplémentaires sur les carrés magiques

Pour en savoir plus sur les carrés magiques, vous pouvez consulter le « Forum des maths » (en anglais).